機率分配 - Part 3 bernoulli

開始來講一些常用或簡單的機率分配函數。這邊不強調學術性，純粹從應用的角度出發。先從最簡單的bernoulli開始吧，他是離散型機率分配函數。他是概念基礎，讓我慢慢道來，別白努力了。

bernoulli的機率函數與累積分配函數如下圖。

bernoulli是一次試行。什麼叫試行呢？就是做一個動作或者一個實驗，也就稱之為一個事件，這個事件發生後產生一個結果狀態。而bernoulli適用於一個試行所產生的結果，只會有兩種狀態，要不成功，要不就是失敗。例如，丟銅板，不是正面就是反面。我們定義命題說，丟出正面的叫成功，丟出反面的叫失敗。

那擲骰子可不可以呢？可以呀，只要事件描述，也就是命題正確就可用。這時候，就帶出p的意義了。也就是說，你的命題中只要能說出某一個狀態成立時，他的機率是p，那其他不管是什麼阿貓阿狗，他的機率就是1-p，能這樣子描述命題，就可以用bernoulli。

丟銅板，我的命題是出現正面的機率是多少？根據正常的銅板而言，應該是0.5。所以，反面呢？是1-0.5=0.5（為何不直接說0.5，這是定義的問題。）問題是，你不知道你的銅板到底正不正常呀，所以要試行n次，越多次越好，然後算出x/n就是p。n是總試行次數，x是結果狀態為正面者。也許你會發現原來，這個銅板並不是正常的。這也就是告訴你，不要去賭博，因為，光看幾次是不準的，你也沒有足夠的時間與賭金可以試行趨近無限大的n次。

那骰子呢？還是要先說，他是一顆正常的骰子。我們的命題是說，出現為1的機率是多少，非1的機率是多少。原則上，我們應該要試行趨近無限大的n次之後，才會知道出現1的機率是多少。只是我們可以認知他是一個正常的骰子，然後用數學我們可以知道有六面，出現其中一面的機率是1/6。所以，推斷當我試行趨近無限多次的n後，可以累算出1的機率是(相當逼近於)1/6。那非1的，也就是丟出2，3，4，5，6的機率是1-1/6=5/6。

以上解釋了那個機率函數。x是一次試行，其結果滿足命題定義中的成功。當x為成功時，他發生的機率是p。很繞口，但是這是基本概念。

問題來了，系統模擬要怎麼用。很多地方都會用到，只要是有if，或者需要分化成兩類的都可以用。例如，病患性別定義女生叫成功，男生叫失敗。這時候p是多少，就是依據你的歷史資料來的呀。根據這個診所的歷史資料得知，女生的比率為0.6，所以男生的比率是1-0.6=0.4。所以，當我產生一個病患要指派他的性別時，用這個bernoulli的機率函數就可以輕鬆解決，系統會利用這個函數隨機產生一個性別給你。注意，系統模擬好玩的地方就是他是隨機的。等你整個實驗做完，然後發現怎麼女生的比率是0.63，拜託，不要懷疑，這是正常現象。隨機，隨著沒有人知道的機制運行著。

然後，他的圖形(直方圖)會長什麼樣子呢？如下圖。

什麼意思呢？這個要來解釋第二個公式累積分配函數。

這個圖怎麼來的，就是你努力丟銅板。丟到正面，就在1的地方+1，丟到反面，就在0的地方+1，一直丟，一直丟。然後，兩邊都除以總試行次數即可。

因為，任何情境，任何事件，任何命題，我們將總試行次數當分母，然後將所有狀態的結果之和當分子，這樣子相除一定等於1。若不是，那表示你可能有某些狀態沒有找出來。(當然，bernoulli不會啦，會就太恐怖了。)

所以，我們知道總體機率為1，且是由各種狀態累加起來的。

因為bernoulli只有兩種狀態，回到累積分配函數的公式，當x是小於0時，注意，不包含0唷。這時候的機率總和為0。那如果x的狀態是小於等於1的時候，注意有包含1唷。這時候，表示已經包含了所有可能結果狀態，所以，他的累積要等於1。

那中間，包含了0的部分，就是1-p了。bernoulli沒有中間啦，所謂中間就是包含0。因為0就是不成功，他的機率是1-p。

這個觀念要建立好，相同的觀念在套到其他的分配上，就容易多了。只要搞清楚命題是怎麼說的就好。反過來說，你的模擬模型中，也會產生很多很多的命題，這時候就要去看你的命題，跟哪一個機率分配函數所適用的命題相合，那就拿來用比較沒有問題與爭議了。