機率分配 - Part 4 binomial

Binomial中文叫二項分配。這個機率分配函數的命題是說，在單一一次試行的機率是已知為p。然後，我連續執行n次試行，且這n次試行的每一次間都是獨立事件。所謂獨立事件的意思是彼此不受影響，沒有前後順序關係。抽號碼球為例，抽完放回，那每一次抽的事件都是獨立的，因為其可以抽取的球數(狀態)，跟前一次都一樣。抽完不放回，那就非獨立了。因為，球數(狀態)已經與前一次不相同，而且剩餘球數是受上一次抽的事件結果所影響。換另一個說法，獨立事件就是組合，非獨立事件就是排列。
回到主題，命題想問的是說，我進行了n次試行，其中有k次成功的話，其機率是多少。（還是要補充一下，已知p，已知n，模擬系統要的是k）。
下圖是他的機率函數與累積函數。

慢慢地，看到這些函數應該不會害怕了。就用擲杯為例，每次丟兩支，每一支有兩種狀態，但這兩支也是獨立事件。所以總共有三種狀態，兩者皆凸(陰)，兩者皆平(陽)，兩者相反稱為聖杯。定義，丟出聖杯為成功事件，其機率為1/3。本次實驗情境要求要丟5次，那請問成功0次，成功1次，成功2次，成功3次，成功4次，成功5次的機率個別是多少。這個幾次，就是x，他不會成功6次或6次以上喔。當然也不會小於0次。

成功0次時，五次中，五次皆為失敗， (1-1/3)*(1-1/3)*(1-1/3)*(1-1/3)*(1-1/3) 。

成功5次時，五次中，五次皆為成功，1/3*1/3*1/3*1/3*1/3。

成功1次時，五次中，有一次成功，那是哪一次呢？有五種可能性，所以要先用組合，5取1，然後乘上機率(1/3)*(1-1/3)*(1-1/3)*(1-1/3)*(1-1/3)。

成功2次時，五次中，有兩次成功，那是哪兩次呢，用組合計算，可知有10種可能性。然後再乘上機率(1/3)*(1/3)*(1-1/3)*(1-1/3)*(1-1/3)。

其他的就類推了。

忍不住還是要強調一下，系統模擬不是要那個機率值，而是要得到幾個成功或失敗。舉例，假設一個生產線的不良率是0.005，這就是p，然後模擬中產生的10000個entity來代表這個生產線的產出物，這就是n，那模擬系統就會依據機率分配函數的特性產生幾個不良品出來，這個就是x。不要問我有幾個（x是多少），我也不知道，隨機，一切隨機。

接著來看累積分配函數。這個就要看直方圖才有感覺，別忘了，這是要看什麼圖形，可以讓整體機率為1。

這個累積分配函數是依據擲杯範例所產生的。

平均值5*1/3 落在1.667，因為p值小於0.5，所以向左偏移。將所有可能狀況之機率總和一定為1。我想應該不用再多作解釋。

只是要補充一點，當p=0.5，也就是說擲一個正常的銅板，只有兩種狀態。當我擲n次，且n趨近於無限大時，這個圖形就會長得很像Normal的鐘型分配。

那～～兩者有何不同呢？此時要看𝓊 平均值是多少，也就是鐘型圖的中心點在哪裡。然後，往左到0為止。這樣說可以理解嗎？x不可能小於0，此時0次的機率實在是太太太太小了。

看圖形吧。

因為這個圖形是依據機率分配函數所隨機產生的，所以，圖形不會是平滑。

如果之前上統計課，搞不清楚老師說兩者之間的關係，希望這個能幫你解惑。