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Poisson分配在系統模擬中是非常重要的機率分配函數。因為，他確切與時間有關係。你要說他很難，還真難。有人喜歡把他跟 二項分配 ，或超幾何分配等有得沒有的作比較與轉換，這跟系統模擬無關，系統模擬要的是情境，要的是歷史資料。也就是說，情境符合命題，然後歷史資料看看顯不顯著，再經過「嚴謹」的適合度檢定，沒有什麼重大意外，就用吧。怎麼說呢？歷史資料不是母體，既然不是，就會有偏差。既然有偏差，你要怎麼知道這個偏差是哪兒發生。搞不好一開始你的抽樣就不對了，樣本根本無法代表母體。後面作一堆，都是作辛酸的。要不就是發表論文用，這兒不搞這。系統模擬最終成果也是資料，由自己產生的資料來驗證模型的正確性，所以，需要兩階段。這篇 發展模擬系統之五大循環  約略有提到這個概念。 先來看看命題，在單位時間內，發生成功事件的次數。滿足Poisson的條件有三個： 條件 (i)表示在時間 0 時，成功次數是 0。  條件(ii)說在互不相交的時段 (time intervals) 內的試行是相互獨立的。  條件(iii)說只要時段長度相同， 不同時段內成功次數有相同的機率分佈。 你可想像自己在坐在咖啡店內，透過櫥窗向外看。每五分鐘(單位時間)內，去算一下有幾台車經過。每五分鐘就要重新起算。若你每天早上同一個時段都來觀察收集資料，你會得到面前這條馬路的車流量，他會服從Poisson分配。而問題在ℷ是多少。好吧，簡單的說，如果你收集到的每五分鐘的車輛數，推估母體的平均數，這個ℷ就是平均數。想要有感覺，請參考 等候理論 這篇講到的到達率。 來看機率分配函數與累積分配函數之公式吧。 這公式不好懂(計算)了吧。唉～誰叫你有手算勒。在已知ℷ的前提下，要問單位時間內，車子通過x=0的機率是多少，通過x=1的機率是多少，通過....。 想一下，系統模擬要什麼。我要的是x呀。單位時間內，透過Poisson讓我取得來客數。到底會有幾個人，我不知道，隨機，一切隨機。(抱歉，又來了) 還是來看累積分配函數的圖，更有感覺。看資料的長相，勝過公式計算。 在系統模擬中，雖然設ℷ為3，但是取得2或4的結果，都不用太驚訝。若取得-1個，那才值得驚訝。因為，一切到0為止。到目前為止所講到的機率分配函數都是到0為止（繞口）。需要得到負數值的，就得使用其他機率分...

Geometirc又叫幾何分配。經過之前分配的說明，我的習慣就是先問這個分配的命題是什麼，然後想想是什麼模擬情境(也是真實情境)中，符合其命題。 首先定義，一次試行的成功機率為p，失敗就是(1-p)。開始試行，直到成功為止，也就是說，要作幾次(x)才會成功。第幾次(x)成功的機率是多少。也就是說，前x-1次都是失敗的。想想Binomial，那個n已經被x取代了，成功了，就停止試行了。 想想玩大富翁，只要骰子丟出一個3，就有大獎。那丟出3的機率是1/6。所以 第一次就成功 1/6。 第二次才成功，表示第一次失敗。5/6*1/6 第三次才成功，表示前兩次失敗。5/6*5/6*1/6 以此類推。 接著來看函數定義。稍微補充一下，下圖的x是代表失敗的次數，所以會從0開始，第一次成功，就表示0次失敗。用失敗，函數看起來比較乾淨。Anylogic定義的x是失敗次數，所以後面的圖形請注意一下。 現在看機率分配函數的部分，應該沒有問題了吧。成功就只會有一次，其他的都是失敗。他不會發生對稱，不會變成Normal，但是他會變成Exponential，當p的機率很低很低時。Geometric x不會是負數，Exponential可以。聽不懂，沒關係。多玩玩系統模擬，自然會上手。來看看直方圖了 先來個剛剛擲骰子的。p是0.167。 x=0時(第一次成功)時，其機率是0.167，隨著次數增加，自然成功機率變小。 p=0.5看看。當然不會對稱。 來看看p很小很小時，p=0.001。是不是很像Exponential，只是一切到0為止。 在模擬中怎麼用呢？根據歷史資料，我們知道這台設備，每平均生產1000個零件後，就會當機。所以，我們設定設備的MTBF( M ean  T ime  B etween  F ailures)，也就是平均故障間隔時間， 我們就會用這個機率分配函數。至於第幾次會掛，誰曉得。另外，掛點了，要修多久，又是另一個故事，另一個分配。 系統模擬的模型，就是由一對不知道結果的函數所組合起來，形成一個天知道的世界，才真正與實務情境相匹配。

Binomial中文叫二項分配。這個機率分配函數的命題是說，在單一一次試行的機率是已知為p。然後，我連續執行n次試行，且這n次試行的每一次間都是獨立事件。所謂獨立事件的意思是彼此不受影響，沒有前後順序關係。抽號碼球為例，抽完放回，那每一次抽的事件都是獨立的，因為其可以抽取的球數(狀態)，跟前一次都一樣。抽完不放回，那就非獨立了。因為，球數(狀態)已經與前一次不相同，而且剩餘球數是受上一次抽的事件結果所影響。換另一個說法，獨立事件就是組合，非獨立事件就是排列。 回到主題，命題想問的是說，我進行了n次試行，其中有k次成功的話，其機率是多少。（還是要補充一下，已知p，已知n，模擬系統要的是k）。 下圖是他的機率函數與累積函數。 慢慢地，看到這些函數應該不會害怕了。就用擲杯為例，每次丟兩支，每一支有兩種狀態，但這兩支也是獨立事件。所以總共有三種狀態，兩者皆凸(陰)，兩者皆平(陽)，兩者相反稱為聖杯。定義，丟出聖杯為成功事件，其機率為1/3。本次實驗情境要求要丟5次，那請問成功0次，成功1次，成功2次，成功3次，成功4次，成功5次的機率個別是多少。這個幾次，就是x，他不會成功6次或6次以上喔。當然也不會小於0次。 成功0次時，五次中，五次皆為失敗， (1-1/3)*(1-1/3)*(1-1/3)*(1-1/3)*(1-1/3) 。 成功5次時，五次中，五次皆為成功，1/3*1/3*1/3*1/3*1/3。 成功1次時，五次中，有一次成功，那是哪一次呢？有五種可能性，所以要先用組合，5取1，然後乘上機率(1/3)*(1-1/3)*(1-1/3)*(1-1/3)*(1-1/3)。 成功2次時，五次中，有兩次成功，那是哪兩次呢，用組合計算，可知有10種可能性。然後再乘上機率(1/3)*(1/3)*(1-1/3)*(1-1/3)*(1-1/3)。 其他的就類推了。 忍不住還是要強調一下，系統模擬不是要那個機率值，而是要得到幾個成功或失敗。舉例，假設一個生產線的不良率是0.005，這就是p，然後模擬中產生的10000個entity來代表這個生產線的產出物，這就是n，那模擬系統就會依據機率分配函數的特性產生幾個不良品出來，這個就是x。不要問我有幾個（x是多少），我也不知道，隨機，一切隨機。 接著來看累積分配函數。這個就要看直方圖才有感覺，別忘了，這...

開始來講一些常用或簡單的機率分配函數。這邊不強調學術性，純粹從應用的角度出發。先從最簡單的bernoulli開始吧，他是離散型機率分配函數。他是概念基礎，讓我慢慢道來，別白努力了。 bernoulli的機率函數與累積分配函數如下圖。 bernoulli是一次試行。什麼叫試行呢？就是做一個動作或者一個實驗，也就稱之為一個事件，這個事件發生後產生一個結果狀態。而bernoulli適用於一個試行所產生的結果，只會有兩種狀態，要不成功，要不就是失敗。例如，丟銅板，不是正面就是反面。我們定義命題說，丟出正面的叫成功，丟出反面的叫失敗。 那擲骰子可不可以呢？可以呀，只要事件描述，也就是命題正確就可用。這時候，就帶出p的意義了。也就是說，你的命題中只要能說出某一個狀態成立時，他的機率是p，那其他不管是什麼阿貓阿狗，他的機率就是1-p，能這樣子描述命題，就可以用bernoulli。 丟銅板，我的命題是出現正面的機率是多少？根據正常的銅板而言，應該是0.5。所以，反面呢？是1-0.5=0.5（為何不直接說0.5，這是定義的問題。）問題是，你不知道你的銅板到底正不正常呀，所以要試行n次，越多次越好，然後算出x/n就是p。n是總試行次數，x是結果狀態為正面者。也許你會發現原來，這個銅板並不是正常的。這也就是告訴你，不要去賭博，因為，光看幾次是不準的，你也沒有足夠的時間與賭金可以試行趨近無限大的n次。 那骰子呢？還是要先說，他是一顆正常的骰子。我們的命題是說，出現為1的機率是多少，非1的機率是多少。原則上，我們應該要試行趨近無限大的n次之後，才會知道出現1的機率是多少。只是我們可以認知他是一個正常的骰子，然後用數學我們可以知道有六面，出現其中一面的機率是1/6。所以，推斷當我試行趨近無限多次的n後，可以累算出1的機率是(相當逼近於)1/6。那非1的，也就是丟出2，3，4，5，6的機率是1-1/6=5/6。 以上解釋了那個機率函數。x是一次試行，其結果滿足命題定義中的成功。當x為成功時，他發生的機率是p。很繞口，但是這是基本概念。 問題來了，系統模擬要怎麼用。很多地方都會用到，只要是有if，或者需要分化成兩類的都可以用。例如，病患性別定義女生叫成功，男生叫失敗。這時候p是多少，就是依據你的歷史資料來的呀。根據這個診所的歷史資料得知，女生的比率為0.6，所以男生...

看完手動模擬之後，問題應該要更多更多了。 那只有一天的資料耶，隔天病人還會照著相同的時間來嗎？當然不會，如果都一樣，那是數學模擬，系統模擬就不用再談下去了。 問題是，隔天的病人會有哪些時間點進到診所呢？誰曉得，還沒發生的事，誰知道。系統模擬又不是在搞算命？那就等明天發生再說吧！這不是更好笑了，都已經發生了，還要系統模擬幹嘛？ 是的，鑑往知來。如果我們收集夠多的歷史資料，能夠找到什麼樣的機制或方法，而這個機制或方法所產生出來的「時間點」，非常貼近於歷史資料的趨勢，那就很棒了呀。這個機制就算是拿骰子來，說不一定也可行，只是沒有說服力。這裡是科學，不是命理學。 所謂這個機制與方法，我們統稱為機率分配函數。也就是說，假設我們有一個函數，當你給了x，或者是ℷ (平均數)等，他會回應給你一個數字，這個數字可以用於模擬中，去取代原本給定的數字。這個函數每次產生的可能都會不一樣，但是，絕對符合實務情境。 但，這個函數難求呀。 首先什麼叫夠多的歷史資料，就算夠多，那函數要長什麼樣子呢？哈～他絕對不會是我們這麼簡單腦袋能想的。這是人工智慧的前身，資料科學的重點吧。 系統模擬是應用之學，你也許可以不用太計較。但，他還是有個過程可以讓我們遵循。目前被找出來的機率分配函數，非常的多。下圖是AnyLogic支援的部分，但是，建模時不受此限，仍可透過Table Function來自建自己的機率分配。 這些可是人家辛苦找出來的，是前人努力成果。你要自創一個？我是不會幹這事，我只想收集足夠的歷史資料，透過統計手法，好好找一個機率分配函數來套用。 這個統計手法，其實就是最基礎的次數分配函數。此時，不得不提醒了，次數方配函數與機率分配函數，因果相依，相互為用。 次數分配函數為果，機率分配函數為因。 收集到的資料是果，那什麼因造成的，在真實世界中還真的不知道。所以，我們想用果來推因（我們找到的因，都不是真正的因，都只是在有限空間中的一種表象）。統計的說法就是從樣本中推估母體，問題就出在抽樣過程，你根本無法確保你的樣本足以代表母體。就算是用盡各種統計手法來證明，也沒有人敢說100%的信賴區間。 我們就只能試著找出一些機率分配函數，透過他所產生的資料，畫出次數分配函數(直方圖)居然是那麼的神似。好吧，那我就拿這個機率分配函數來當作母體。因為，我有百分之XX的把握，產出資料與實務資...

所謂打鐵趁熱，上回留個「次數分配-直方圖」與「機率分配函數」之間的關係與應用原想接著來說說，但時間有限，所以，先來講講手動模擬。 ========== 透過手動模擬，對於模擬所需要的「時間」能有更清楚的理解。網路上有說十維空間，那是數學的世界。但是透過模擬系統，我們可以掌握時間，可以達到仿四度空間的能力。 「時光」，時不可逆，光可逆。 透過模擬系統的時間架構，可以預測未來。若不滿意，可以拉回現況時間點(抱歉，已經不再是上一個模型的啟動時點)，再來一次。 上回收集的原始資料可拆解兩個使用目的病患到達時間與服務時間。兩者並列如下。 對模擬來看，時間雖然持續性發生，但是發生任何事件時，都是一個頓點，外力介入點，程式撰寫點。這跟電腦系統是相同的道理。也就是說，你要設定中斷點，並且收集必要資料。 我們先把收集什麼資料放一邊，專心在到底可以有什麼樣的事件，各事件的關係以及跟等候理論到底有什麼關聯性。 首先我們要來問問，既然時間不斷地演進，那到底由誰來決定斷點呢？就我們的模型來說，就是那個病患，由他來決定很多事件的發生與結束。這個傢伙叫Entity，在Anylogic中叫Agent。 就是這個entity遊歷了我們模擬系統中的元素，抱歉，條件複雜下，哪些Entity遊歷了哪幾個元素，不到最後關頭，我們還不曉得勒。這些過程重不重要，就是決定你要收集哪些資訊了。 回過來說Entity因為遊歷了元素，所以觸發元素所支援的中斷事件。一個模擬系統內，往往不會只有一個Entity，但也不可能無限制，甚至不同模擬規模就得設定其Entity數量。這也是為何大巨蛋疏散模擬，要設定不同的人員數量。 言歸正傳，那到底有哪些中斷事件，哈～還是跟元素的設計目的有關。不過，一般起碼都會有{初始、[{到達、離開}]、結束}。有看懂嗎？硬是要用JSON表示法。整體而言是一個物件，一定有初始、結束，然後中間歷經不同元素，是可重複的陣列，裡面會有一個{到達、離開}的物件。模擬結束後，這兩個數據一定要同時存在，不會有Entity進入元素後，沒有離開的。 ========= 準備好基本資料與基本知識後，我們開始用Excel進行手動模擬。首先要準備好模擬原始狀態的試算表。這個模型只有一個Queue，只有一個Service。多了，老子才不幹勒，白癡才會用手動去搞1/M/M的...

系統模擬之精彩處，在於他不是數學模式(你要他是也可以，在驗證階段)，而是基於模擬情境，應用符合實務之機率分配函數。舉凡系統中所有的數字，都可以試圖找到一個恰當的機率分配函數來代表他。這一塊真的不容易簡易說清楚，光是看到一堆機率函數就傻眼了，甚至來龍去脈都搞不清楚。 什麼是恰當呢？既然是隨機，每次結果就會不一樣，既然不一樣，那要怎麼說對與錯呢？所以，這個取決於你對模型的精準度要求，也就是你能夠接受的誤差範圍。 這下子，問題又來了，什麼是你能夠接受的誤差範圍呢？在這邊講也講不完，到後期講到模型最佳化時，也許會試圖來說清楚，這邊就按下不表。這麼說吧，你有閒工夫，去收集到最完整的原始資料，以統計的手法，找出最適之機率分配函數，然後在應用此機率分配函數到模型中，來產生數據資料。繞口了吧。 好吧，那就偷懶，其實我們只會用到幾個常用的機率分配函數。甚至說，試圖用大數法則說服自己，通通都是Normal 分配。要不就再偷懶一點直接用Triangular分配，什麼，也還是不要，那～用Random吧。只要最後的產出資料落在你可以接受的誤差範圍之內，沒有人會在意你用的是什麼分配。當然，這個誤差範圍不能太離譜呀。你的模型使用「分鐘」做模擬單位時間，卻說可以接受「小時」的誤差範圍，這就太離譜了。若你的模型用「天數」作模擬單位時間，誤差在30分鐘都是合理範圍。抱歉，還是要說，看你對於模擬精準度的要求。 原始資料收集是建置模擬系統的基礎工作之一。是苦工，卻不可逃避。然而，原始資料到應用於模型中仍然有些差距。下圖是我們收集病患進到診所的原始資料。請稍微注意一下數據內容，是的，都是時間點。因為，就收集資料的角度來說，每一個事件的發生或結束，最方便的方法，就是紀錄當時的時間。 若上一篇有跟到，有理解到的話，這些資料並不能直接使用到模擬系統中。補充一下，就Anylogic來說，他是可以直接使用原始資料。可能需要回顧一下 模擬時間 這篇所題的觀念。 在模擬系統中，我們想要使用的資料是： 這些病患到達診所的情境會符合什麼樣的機率分配。 從進到診所到被醫師看診，他願意等候的時間是符合什麼樣的機率分配。 從他進到診間到離開診間，中間接受醫師看診的服務時間是符合什麼樣的機率分配。 從他離開診間到離開診所，中間他停留在診所內的時間又是符合什麼樣的機率分配。 太多了，如果你的模...